Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 3

Laissez $u = - 0.1 y$ . Alors $d u = - 0.1 d y$ , donc $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u = - 0.1 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

Étape 3.1.2

Comme $- 0.1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 0.1 y$ par rapport à $y$ est $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 0.1$ par $1$ .

$- 0.1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = - 0.1 y$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

Étape 3.3

Multipliez $- 0.1$ par $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = - 0.1 y$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

Étape 3.5

Multipliez $- 0.1$ par $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 7

Comme $\frac{1}{0.1}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.1}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{0.1}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Évaluez $e^{u}$ sur $0.2$ et sur $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Étape 12.2

Évaluez $\ln (| y |)$ sur $- 2$ et sur $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

Étape 12.3

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

Étape 13

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $2$ par $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Étape 14.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Étape 14.4

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Étape 14.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

Étape 14.6

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 3$ et $0$ est $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Forme décimale :

$1.35272566 \dots$

Étape 16