Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

Étape 1

Laissez $t = 2 \sec (t_{1})$ , où $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ est positif.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \tan^{2} (t_{1})$ comme ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \tan (t_{1})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $2 \tan (t_{1})$ à partir de ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2 \tan (t_{1})$ à partir de $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ et $\sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\sec (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 2.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4

Annulez le facteur commun à $\sec (t_{1})$ et $\sec^{3} (t_{1})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.4.1

Multipliez par $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.4.2.1

Factorisez $\sec (t_{1})$ à partir de $8 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $t_{1}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ comme ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sec (t_{1})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Étape 4.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Étape 4.5

Multipliez $\cos (t_{1})$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Étape 10

Laissez $u = 2 t_{1}$ . Alors $d u = 2 d t_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Laissez $u = 2 t_{1}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Différenciez $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t_{1}$ , la dérivée de $2 t_{1}$ par rapport à $t_{1}$ est $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ est $n {t_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Remplacez la limite inférieure pour $t_{1}$ dans $u = 2 t_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Étape 10.4

Remplacez la limite supérieure pour $t_{1}$ dans $u = 2 t_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Étape 10.5

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Étape 10.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Étape 10.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Évaluez $t_{1}$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Étape 14.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{2 π}{3}$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.2

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.3.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 14.3.7

Soustrayez $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Étape 15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Étape 16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Étape 16.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Étape 16.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Étape 16.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Étape 16.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Étape 16.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Étape 16.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Étape 16.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.7.1

Multipliez $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Étape 16.7.1.2

Multipliez $16$ par $12$ .

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Étape 16.7.2

Multipliez $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.7.2.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Étape 16.7.2.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Étape 16.7.3

Multipliez $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.7.3.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Étape 16.7.3.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Forme décimale :

$0.01217575 \dots$

Étape 18