Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x)$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt{- u}}^{2}$ comme $- u$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- u}$ comme ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3.1.5

Simplifiez

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Étape 3.6

Associez $\frac{u}{2}$ et $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int u e^{u} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int u e^{u} d u$ par $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$u e^{u} - e^{u} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$