Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 4}^{3} (5 - x^{2}) - (x - 7) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{3} 5 d x + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$5 x]_{- 4}^{3} + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 x]_{- 4}^{3} - \int_{- 4}^{3} x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Étape 6

Multipliez $- (x - 7)$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x - - 7 d x$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x + 7 d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - \int_{- 4}^{3} x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + 7 x]_{- 4}^{3}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $5 x]_{- 4}^{3}$ et $7 x]_{- 4}^{3}$ .

$5 x + 7 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Étape 13.1.2

Additionnez $5 x$ et $7 x$ .

$12 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Étape 13.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.2.1

Évaluez $12 x$ sur $3$ et sur $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Étape 13.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Étape 13.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4

Simplifiez

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Étape 13.2.4.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$36 - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.2

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$36 + 48 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$84 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$84 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.5

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 13.2.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$84 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.5.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$84 - (9 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.6

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$84 - (9 - \frac{- 64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$84 - (9 - - \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$84 - (9 + 1 (\frac{64}{3})) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.9

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $1$ .

$84 - (9 + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.10

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$84 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.11

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$84 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$84 - \frac{9 \cdot 3 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.13.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$84 - \frac{27 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.13.2

Additionnez $27$ et $64$ .

$84 - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.14

Pour écrire $84$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$84 \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.15

Associez $84$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{84 \cdot 3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{84 \cdot 3 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.17.1

Multipliez $84$ par $3$ .

$\frac{252 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.17.2

Soustrayez $91$ de $252$ .

$\frac{161}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 13.2.4.19

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{16}{2})$

Étape 13.2.4.20

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 13.2.4.20.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Étape 13.2.4.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Étape 13.2.4.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Étape 13.2.4.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{8}{1})$

Étape 13.2.4.20.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 1 \cdot 8)$

Étape 13.2.4.21

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8)$

Étape 13.2.4.22

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 13.2.4.23

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Étape 13.2.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 8 \cdot 2}{2}$

Étape 13.2.4.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.25.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 16}{2}$

Étape 13.2.4.25.2

Soustrayez $16$ de $9$ .

$\frac{161}{3} - \frac{- 7}{2}$

Étape 13.2.4.26

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{161}{3} - - \frac{7}{2}$

Étape 13.2.4.27

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{161}{3} + 1 (\frac{7}{2})$

Étape 13.2.4.28

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $1$ .

$\frac{161}{3} + \frac{7}{2}$

Étape 13.2.4.29

Pour écrire $\frac{161}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Étape 13.2.4.30

Pour écrire $\frac{7}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 13.2.4.31

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.2.4.31.1

Multipliez $\frac{161}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 13.2.4.31.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 13.2.4.31.3

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 13.2.4.31.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{6}$

Étape 13.2.4.32

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{161 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{6}$

Étape 13.2.4.33

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.33.1

Multipliez $161$ par $2$ .

$\frac{322 + 7 \cdot 3}{6}$

Étape 13.2.4.33.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{322 + 21}{6}$

Étape 13.2.4.33.3

Additionnez $322$ et $21$ .

$\frac{343}{6}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{343}{6}$

Forme décimale :

$57.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$57 \frac{1}{6}$

Étape 15