Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{6} 2 x \sqrt{x^{2} - 4} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{3}^{6} x \sqrt{x^{2} - 4} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} - 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 4$ .

$u_{lower} = 3^{2} - 4$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 9 - 4$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$u_{lower} = 5$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 4$ .

$u_{upper} = 6^{2} - 4$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 36 - 4$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ de $36$ .

$u_{upper} = 32$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 32$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{5}^{32} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{32} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.3

Multipliez $\int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$ par $1$ .

$\int_{5}^{32} \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{32} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{32}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $32$ et sur $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 32^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $32^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 32^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{5})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{5})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{5 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $5 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Associez $5$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 15}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.7

Additionnez $2$ et $15$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.8

Associez $5^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Étape 7.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{17}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forme décimale :

$113.22599739 \dots$

Étape 9