Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} - 4 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{3}^{5} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{3}^{5} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 2.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{3}^{5} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{3}^{5} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{3}^{5} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} - 4 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5} + - 4 x]_{3}^{5}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $2 x^{\frac{1}{2}}]_{3}^{5}$ et $- 4 x]_{3}^{5}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x]_{3}^{5}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}} - 4 x$ sur $5$ et sur $3$ .

$(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 5) - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3)$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 12)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - - 12$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - - 12$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 20 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 12$

Étape 5.3.2

Additionnez $- 20$ et $12$ .

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 8 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Forme décimale :

$- 6.99196566 \dots$

Étape 7