Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Étape 2

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Étape 2.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (u)$

$3 (\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$

Étape 6.2

Associez $3$ et $\frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$ .

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

Étape 6.3.2

Divisez $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Évaluez $\arcsin (u)$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $0$ .

$\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6} - \arcsin (0)$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{6} - 0$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Étape 8.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{6}$

Forme décimale :

$0.52359877 \dots$

Étape 10