Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Alors $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3.2.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.4

Associez $4$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 4.2.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 4.2.3

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Étape 4.2.4

Additionnez $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Étape 4.2.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Étape 5.2

Associez.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $π^{2}$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Étape 5.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Étape 5.5

Multipliez $8$ par $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π^{2}}{288}$

Forme décimale :

$0.03426945 \dots$