Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

Étape 1

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 1.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $1$ .

$\frac{1}{π}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{π}$

Forme décimale :

$0.31830988 \dots$