Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y$

Étape 1

Divisez $y - 2$ par $y + 3$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C + \int - \frac{5}{y + 3} d y$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C - \int \frac{5}{y + 3} d y$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y)$

Étape 6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y$

Étape 7

Laissez $u = y + 3$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 7.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$y - 5 \ln (| u |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C$