Calcul infinitésimal Exemples

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Étape 1

Développez $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + y)}^{2}$ comme $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Étape 1.8

Déplacez $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Étape 1.9

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Étape 1.10

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Étape 1.11

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Étape 1.12

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.13

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.14

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.15

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.17

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.18

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.19

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.21

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Étape 1.22

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Étape 1.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Étape 1.24

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Étape 1.25

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Étape 1.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Étape 1.27

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Étape 1.28

Additionnez $y^{3}$ et $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Étape 1.29

Remettez dans l’ordre $2 y^{3}$ et $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Étape 1.30

Déplacez $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$