Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{6} (x) (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin^{6} (x)$ .

$x (- \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x) d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{48}$ et $\sin^{3} (2 x)$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x) d x$

Étape 2.3

Associez $\frac{5}{16}$ et $x$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3}{64} \sin (4 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x) d x$

Étape 2.4

Associez $\frac{3}{64}$ et $\sin (4 x)$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) + \frac{5}{16} x + \frac{3}{64} \sin (4 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5}{16} x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3}{64} \sin (4 x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{48} \sin^{3} (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5}{16} x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3}{64} \sin (4 x) d x)$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{48}$ et $\sin^{3} (2 x)$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5}{16} x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3}{64} \sin (4 x) d x)$

Étape 4.3

Associez $\frac{5}{16}$ et $x$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3}{64} \sin (4 x) d x)$

Étape 4.4

Associez $\frac{3}{64}$ et $\sin (4 x)$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 7

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 8

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 11

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{8} - \cos (u_{1})]_{0}^{π} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 12

Associez $- \cos (u_{1})]_{0}^{π}$ et $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 13

Comme $\frac{1}{48}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{48}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{48} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 14

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 14.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 14.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 14.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 14.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 14.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 14.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 14.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 14.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 14.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{48} \int_{0}^{π} \sin^{3} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 15

Associez $\sin^{3} (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{48} \int_{0}^{π} \frac{\sin^{3} (u_{2})}{2} d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{48} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin^{3} (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 17

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Étape 17.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{48}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{2 \cdot 48} \int_{0}^{π} \sin^{3} (u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 17.2

Multipliez $2$ par $48$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} \int_{0}^{π} \sin^{3} (u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 18

Factorisez $\sin^{2} (u_{2})$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} \int_{0}^{π} \sin^{2} (u_{2}) \sin (u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 19

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{2})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{2})$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} \int_{0}^{π} (1 - \cos^{2} (u_{2})) \sin (u_{2}) d u_{2} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 20

Laissez $u_{3} = \cos (u_{2})$ . Alors $d u_{3} = - \sin (u_{2}) d u_{2}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{2})} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 20.1

Laissez $u_{3} = \cos (u_{2})$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 20.1.1

Différenciez $\cos (u_{2})$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})]$

Étape 20.1.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$- \sin (u_{2})$

Étape 20.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{2}$ dans $u_{3} = \cos (u_{2})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 20.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 20.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{2}$ dans $u_{3} = \cos (u_{2})$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Étape 20.5

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Étape 20.5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Étape 20.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 20.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 20.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Étape 20.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ , $d u_{3}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} \int_{1}^{- 1} - 1 + {u_{3}}^{2} d u_{3} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 21

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} (\int_{1}^{- 1} - 1 d u_{3} + \int_{1}^{- 1} {u_{3}}^{2} d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 22

Appliquez la règle de la constante.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} (- u_{3}]_{1}^{- 1} + \int_{1}^{- 1} {u_{3}}^{2} d u_{3}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 23

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{2}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{3} {u_{3}}^{3}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} (- u_{3}]_{1}^{- 1} + \frac{1}{3} {u_{3}}^{3}]_{1}^{- 1}) + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 24

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Étape 24.1

Associez $- u_{3}]_{1}^{- 1}$ et $\frac{1}{3} {u_{3}}^{3}]_{1}^{- 1}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} - u_{3} + \frac{1}{3} {u_{3}}^{3}]_{1}^{- 1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 24.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{3}}^{3}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{1}{96} - u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 24.3

Associez $\frac{1}{96}$ et $- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{5 x}{16} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 25

Comme $\frac{5}{16}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1}}{96} + \frac{5}{16} \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 26

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1}}{96} + \frac{5}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Pour écrire $\frac{5}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{96}{96}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1}}{96} + \frac{5}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} \cdot \frac{96}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.2

Associez $\frac{5}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}$ et $\frac{96}{96}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1}}{96} + \frac{\frac{5}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} \cdot 96}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{5}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} \cdot 96}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{5}{16} \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} \cdot 96}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.5

Associez $\frac{5}{16}$ et $\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{16} \cdot 96}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.6

Associez $\frac{5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{16}$ et $96$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}) \cdot 96}{16}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.7

Multipliez $96$ par $5$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{480 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{16}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.8

Annulez le facteur commun à $480$ et $16$ .

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Étape 27.8.1

Factorisez $16$ à partir de $480 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{16 (30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}))}{16}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 27.8.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{16 (30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}))}{16 (1)}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{16 (30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}}))}{16 \cdot 1}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + \frac{30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{1}}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 27.8.2.4

Divisez $30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})$ par $1$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin (4 x)}{64} d x)$

Étape 28

Comme $\frac{3}{64}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{64}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (4 x) d x)$

Étape 29

Laissez $u_{4} = 4 x$ . Alors $d u_{4} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{4} = d x$ . Réécrivez avec $u_{4}$ et $d$ $u_{4}$ .

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Étape 29.1

Laissez $u_{4} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{4}}{d x}$ .

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Étape 29.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 29.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 29.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 29.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 29.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{4} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Étape 29.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 29.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{4} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{π}{2}$

Étape 29.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 29.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 (2) \frac{π}{2}$

Étape 29.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \cdot 2 \frac{π}{2}$

Étape 29.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 2 π$

Étape 29.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 29.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{4}$ , $d u_{4}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{64} \int_{0}^{2 π} \sin (u_{4}) \frac{1}{4} d u_{4})$

Étape 30

Associez $\sin (u_{4})$ et $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{64} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u_{4})}{4} d u_{4})$

Étape 31

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{4}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{64} (\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \sin (u_{4}) d u_{4}))$

Étape 32

Simplifiez

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Étape 32.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{64}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{4 \cdot 64} \int_{0}^{2 π} \sin (u_{4}) d u_{4})$

Étape 32.2

Multipliez $4$ par $64$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{256} \int_{0}^{2 π} \sin (u_{4}) d u_{4})$

Étape 33

L’intégrale de $\sin (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $- \cos (u_{4})$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3}{256} - \cos (u_{4})]_{0}^{2 π})$

Étape 34

Associez $\frac{3}{256}$ et $- \cos (u_{4})]_{0}^{2 π}$ .

$x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3 (- \cos (u_{4})]_{0}^{2 π})}{256})$

Étape 35

Remplacez et simplifiez.

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Étape 35.1

Évaluez $x (- \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 x)}{48} + \frac{5 x}{16} + \frac{3 \sin (4 x)}{64})$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64})) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{- \cos (u_{1})]_{0}^{π}}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3 (- \cos (u_{4})]_{0}^{2 π})}{256})$

Étape 35.2

Évaluez $- \cos (u_{1})$ sur $π$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64})) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}]_{1}^{- 1} + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3 (- \cos (u_{4})]_{0}^{2 π})}{256})$

Étape 35.3

Évaluez $- u_{3} + \frac{{u_{3}}^{3}}{3}$ sur $- 1$ et sur $1$ .

$(\frac{π}{2} (- \frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64})) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}})}{96} + \frac{3 (- \cos (u_{4})]_{0}^{2 π})}{256})$

Étape 35.4

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64})) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 (- \cos (u_{4})]_{0}^{2 π})}{256})$

Étape 35.5

Évaluez $- \cos (u_{4})$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \frac{\sin (2 \frac{π}{2})}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64})) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6

Simplifiez

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Étape 35.6.1

Associez $2$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (\frac{2 π}{2})}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 35.6.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \frac{π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.3

Associez $2$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (\frac{2 π}{2})}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 35.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 \frac{π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.5

Associez $5$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{\frac{5 π}{2}}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.6

Réécrivez $\frac{\frac{5 π}{2}}{16}$ comme un produit.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.7

Multipliez $\frac{5 π}{2}$ par $\frac{1}{16}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{2 \cdot 16} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.8

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (4 \frac{π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.9

Associez $4$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (\frac{4 π}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 35.6.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.6.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{1})}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.10.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (- \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.11

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (- \frac{\sin (0)}{4} + \frac{\sin^{3} (2 \cdot 0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.12

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (- \frac{\sin (0)}{4} + \frac{\sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.13

Pour écrire $- \frac{\sin (0)}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (- \frac{\sin (0)}{4} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $48$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 35.6.14.1

Multipliez $\frac{\sin (0)}{4}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (- \frac{\sin (0) \cdot 12}{4 \cdot 12} + \frac{\sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.14.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (- \frac{\sin (0) \cdot 12}{48} + \frac{\sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{- \sin (0) \cdot 12 + \sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 35.6.16.1

Évaluez $\sin (0)$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{- 0 \cdot 12 + \sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.16.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{0 \cdot 12 + \sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.16.3

Multipliez $0$ par $12$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{0 + \sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.16.4

Évaluez $\sin (0)$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{0 + 0^{3}}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.16.5

Élevez $0$ à la puissance $3$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{0 + 0}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.16.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{0}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.17

Annulez le facteur commun à $0$ et $48$ .

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Étape 35.6.17.1

Factorisez $48$ à partir de $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{48 (0)}{48} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.6.17.2.1

Factorisez $48$ à partir de $48$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{48 \cdot 0}{48 \cdot 1} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.17.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (\frac{0}{1} + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.17.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{5 \cdot 0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.18

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{0}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $16$ .

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Étape 35.6.19.1

Factorisez $16$ à partir de $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{16 (0)}{16} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.6.19.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{16 \cdot 0}{16 \cdot 1} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.19.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{0}{1} + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + 0 + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.20

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{3 \sin (4 \cdot 0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.21

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 (0 + \frac{3 \sin (0)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.22

Additionnez $0$ et $\frac{3 \sin (0)}{64}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 \frac{3 \sin (0)}{64} - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.23

Multipliez $0$ par $\frac{3 \sin (0)}{64}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) + 0 - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.24

Additionnez $\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64})$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π)) + \cos (0)}{8} + \frac{(- - 1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{1 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.26

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{1 + \frac{- 1}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{1 - \frac{1}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.28

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{3 - 1}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.30

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.31

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.32

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.33

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.34

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.35

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.36

Simplifiez le numérateur.

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Étape 35.6.36.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.36.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.37

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} - - \frac{2}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.38

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.39

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.40

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2 + 2}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.41

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.42

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.43

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 35.6.43.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.43.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.6.43.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.43.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.43.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.43.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - 0)}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.44

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} + 0)}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.45

Additionnez $\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{4}{3} + 30 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.46

Annulez le facteur commun à $\frac{4}{3} + 30 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}$ et $96$ .

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Étape 35.6.46.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 (\frac{2}{3}) + 30 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.46.2

Factorisez $2$ à partir de $30 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 (\frac{2}{3}) + 2 (15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.46.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{2}{3}) + 2 (15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2})$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 (\frac{2}{3} + 15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2})}{96} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.46.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.6.46.4.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

Étape 35.6.46.4.2

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.46.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{\frac{2}{3} + 15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}}{48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.47

Multipliez $\frac{\frac{2}{3} + 15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}}{48}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} + 15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}}{48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.48

Associez.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{3 (\frac{2}{3} + 15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.49

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{3 (\frac{2}{3}) + 3 (15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.50

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 35.6.50.1

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.50.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 (15 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.51

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 35.6.51.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 (15 \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.51.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 (15 \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.52

Réécrivez $\frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}$ comme un produit.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 (15 (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}))}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.53

Multipliez $\frac{π^{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 (15 \frac{π^{2}}{4 \cdot 2})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.54

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 (15 \frac{π^{2}}{8})}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.55

Associez $15$ et $\frac{π^{2}}{8}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + 3 \frac{15 π^{2}}{8}}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.56

Associez $3$ et $\frac{15 π^{2}}{8}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + \frac{3 (15 π^{2})}{8}}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.57

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + \frac{45 π^{2}}{8}}{3 \cdot 48} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.58

Multipliez $3$ par $48$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{2 + \frac{45 π^{2}}{8}}{144} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.59

Multipliez $\frac{2 + \frac{45 π^{2}}{8}}{144}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{8}{8} \cdot \frac{2 + \frac{45 π^{2}}{8}}{144} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.60

Associez.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{8 (2 + \frac{45 π^{2}}{8})}{8 \cdot 144} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.61

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{8 \cdot 2 + 8 \frac{45 π^{2}}{8}}{8 \cdot 144} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.62

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 35.6.62.1

Annulez le facteur commun.

Étape 35.6.62.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{8 \cdot 2 + 45 π^{2}}{8 \cdot 144} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.63

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{16 + 45 π^{2}}{8 \cdot 144} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.64

Multipliez $8$ par $144$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152} + \frac{3 ((- \cos (2 π)) + \cos (0))}{256})$

Étape 35.6.65

Pour écrire $- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8} \cdot \frac{32}{32} + \frac{3 (- \cos (2 π) + \cos (0))}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 35.6.66

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $256$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 35.6.66.1

Multipliez $\frac{- \cos (π) + \cos (0)}{8}$ par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 32}{8 \cdot 32} + \frac{3 (- \cos (2 π) + \cos (0))}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 35.6.66.2

Multipliez $8$ par $32$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (- \frac{(- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 32}{256} + \frac{3 (- \cos (2 π) + \cos (0))}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 35.6.67

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 32 + 3 (- \cos (2 π) + \cos (0))}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 35.6.68

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + \cos (0)) + 3 (- \cos (2 π) + \cos (0))}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 36

Simplifiez

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Étape 36.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + \cos (0))}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 36.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (π)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37

Simplifiez

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Étape 37.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 37.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{π}{2} (- \frac{\sin (0)}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} (- \frac{0}{4} + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.2

Divisez $0$ par $4$ .

$\frac{π}{2} (- 0 + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (2 π)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \sin (0)}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{3 \cdot 0}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{\sin^{3} (π)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{0}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 37.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 37.7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{π}{2} (0 + \frac{\sin^{3} (0)}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{0}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{0^{3}}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{0}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{0}{48} + \frac{5 π}{32} + \frac{0}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.7.2

Divisez $0$ par $48$ .

$\frac{π}{2} (0 + 0 + \frac{5 π}{32} + \frac{0}{64}) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.7.3

Divisez $0$ par $64$ .

$\frac{π}{2} (0 + 0 + \frac{5 π}{32} + 0) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{π}{2} (0 + \frac{5 π}{32} + 0) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.9

Additionnez $0$ et $\frac{5 π}{32}$ .

$\frac{π}{2} (\frac{5 π}{32} + 0) - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.10

Additionnez $\frac{5 π}{32}$ et $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{5 π}{32} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.11

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{5 π}{32}$ .

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Étape 37.11.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{5 π}{32}$ .

$\frac{π (5 π)}{2 \cdot 32} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.11.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (π^{1} π)}{2 \cdot 32} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.11.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (π^{1} π^{1})}{2 \cdot 32} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 π^{1 + 1}}{2 \cdot 32} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{2 \cdot 32} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.11.6

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 32 (- \cos (π) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.12

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 32 (- - \cos (0) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.13

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 32 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 32 (- - 1 + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 32 (1 + 1) + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 32 \cdot 2 + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.17

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64 + 3 (- \cos (2 π) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.18

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64 + 3 (- \cos (0) + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.19

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64 + 3 (- 1 \cdot 1 + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.20

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64 + 3 (- 1 + 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.21

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64 + 3 \cdot 0}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.22

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64 + 0}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.23

Additionnez $- 64$ et $0$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 64}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.24

Simplifiez chaque terme.

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Étape 37.24.1

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $256$ .

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Étape 37.24.1.1

Factorisez $64$ à partir de $- 64$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{64 (- 1)}{256} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.24.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 37.24.1.2.1

Factorisez $64$ à partir de $256$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{64 \cdot - 1}{64 \cdot 4} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.24.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{64 \cdot - 1}{64 \cdot 4} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.24.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 π^{2}}{64} - (\frac{- 1}{4} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.24.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 π^{2}}{64} - (- \frac{1}{4} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.25

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{288}{288}$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (- \frac{1}{4} \cdot \frac{288}{288} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1152$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 37.26.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{288}{288}$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (- \frac{288}{4 \cdot 288} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.26.2

Multipliez $4$ par $288$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - (- \frac{288}{1152} + \frac{16 + 45 π^{2}}{1152})$

Étape 37.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π^{2}}{64} - \frac{- 288 + 16 + 45 π^{2}}{1152}$

Étape 37.28

Additionnez $- 288$ et $16$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} - \frac{- 272 + 45 π^{2}}{1152}$

Étape 37.29

Pour écrire $\frac{5 π^{2}}{64}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{18}{18}$ .

$\frac{5 π^{2}}{64} \cdot \frac{18}{18} - \frac{- 272 + 45 π^{2}}{1152}$

Étape 37.30

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1152$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 37.30.1

Multipliez $\frac{5 π^{2}}{64}$ par $\frac{18}{18}$ .

$\frac{5 π^{2} \cdot 18}{64 \cdot 18} - \frac{- 272 + 45 π^{2}}{1152}$

Étape 37.30.2

Multipliez $64$ par $18$ .

$\frac{5 π^{2} \cdot 18}{1152} - \frac{- 272 + 45 π^{2}}{1152}$

Étape 37.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π^{2} \cdot 18 - (- 272 + 45 π^{2})}{1152}$

Étape 37.32

Multipliez $18$ par $5$ .

$\frac{90 π^{2} - (- 272 + 45 π^{2})}{1152}$

Étape 38

Simplifiez le numérateur.

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Étape 38.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{90 π^{2} - - 272 - (45 π^{2})}{1152}$

Étape 38.2

Multipliez $- 1$ par $- 272$ .

$\frac{90 π^{2} + 272 - (45 π^{2})}{1152}$

Étape 38.3

Multipliez $45$ par $- 1$ .

$\frac{90 π^{2} + 272 - 45 π^{2}}{1152}$

Étape 38.4

Soustrayez $45 π^{2}$ de $90 π^{2}$ .

$\frac{45 π^{2} + 272}{1152}$

Étape 39

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{45 π^{2} + 272}{1152}$

Forme décimale :

$0.62164253 \dots$