Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $x$ sur $\frac{π}{12}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Étape 8.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

Étape 8.3

Additionnez $\frac{π}{12}$ et $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

Étape 9.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 9.4

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 9.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.01179938 \dots$