Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

Étape 1.3

Divisez $0$ par $2$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 5

Évaluez $\tan (u)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Étape 6

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$2 (1 - \tan (0))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$2 (1 - 0)$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (1 + 0)$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$