Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Étape 1

Laissez $u = 4 + r^{2}$ . Alors $d u = 2 r d r$ , donc $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + r^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d r}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + r^{2}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $4$ par rapport à $r$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 r$ .

$2 r$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $r$ dans $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $r$ dans $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $4 + \frac{π^{2}}{4}$ et sur $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ est d’environ $6.4674011$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Étape 7.1.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Étape 7.1.3

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Étape 7.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Étape 7.1.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{16 + π^{2}}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Étape 7.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Forme décimale :

$0.24023999 \dots$

Étape 9