Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = - \cos (x)$ . Alors $d u = \sin (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Étape 1.1.4

Multipliez.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - \cos (x)$ .

$u_{lower} = - \cos (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - \cos (x)$ .

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = - 0$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $e^{u}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

Étape 3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1 - \frac{1}{e}$

Forme décimale :

$0.63212055 \dots$