Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Étape 1

Laissez $u = \sin (t)$ . Alors $d u = \cos (t) d t$ , donc $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Étape 2

Laissez $u = \tan (t_{1})$ , où $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

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Étape 3.1.1

Réorganisez les termes.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Étape 3.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Étape 3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $\sec (t_{1})$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\sec (t_{1})$ à partir de $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Étape 4

L’intégrale de $\sec (t_{1})$ par rapport à $t_{1}$ est $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 6.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.1.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ est d’environ $2.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Étape 7.3

Divisez $\sqrt{2} + 1$ par $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forme décimale :

$0.88137358 \dots$