Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de 0 à pi/2 de sin(x)^4 par rapport à x
Étape 1
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 2
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 3
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Différenciez .
Étape 3.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 3.3
Multipliez par .
Étape 3.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 3.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 3.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.2
Développez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.7
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.8
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.9
Déplacez .
Étape 5.2.10
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.11
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.12
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.13
Déplacez .
Étape 5.2.14
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.15
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.16
Déplacez .
Étape 5.2.17
Déplacez .
Étape 5.2.18
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.19
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.20
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.21
Déplacez .
Étape 5.2.22
Déplacez .
Étape 5.2.23
Multipliez par .
Étape 5.2.24
Multipliez par .
Étape 5.2.25
Multipliez par .
Étape 5.2.26
Multipliez par .
Étape 5.2.27
Multipliez par .
Étape 5.2.28
Associez et .
Étape 5.2.29
Multipliez par .
Étape 5.2.30
Associez et .
Étape 5.2.31
Multipliez par .
Étape 5.2.32
Associez et .
Étape 5.2.33
Associez et .
Étape 5.2.34
Multipliez par .
Étape 5.2.35
Multipliez par .
Étape 5.2.36
Multipliez par .
Étape 5.2.37
Associez et .
Étape 5.2.38
Multipliez par .
Étape 5.2.39
Multipliez par .
Étape 5.2.40
Associez et .
Étape 5.2.41
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.42
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.43
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.44
Additionnez et .
Étape 5.2.45
Soustrayez de .
Étape 5.2.46
Associez et .
Étape 5.2.47
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.48
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Multipliez par .
Étape 10.2
Multipliez par .
Étape 11
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 12
Appliquez la règle de la constante.
Étape 13
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Différenciez .
Étape 13.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 13.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 13.1.4
Multipliez par .
Étape 13.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 13.3
Multipliez par .
Étape 13.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 13.5
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 13.6
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 14
Associez et .
Étape 15
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 16
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 17
Associez et .
Étape 18
Appliquez la règle de la constante.
Étape 19
Associez et .
Étape 20
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 21
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 22
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 23
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.1
Associez et .
Étape 23.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 23.3
Associez et .
Étape 23.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 23.5
Associez et .
Étape 23.6
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 23.6.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 23.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 23.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 24
Remplacez et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1
Évaluez sur et sur .
Étape 24.2
Évaluez sur et sur .
Étape 24.3
Évaluez sur et sur .
Étape 24.4
Évaluez sur et sur .
Étape 24.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.5.1
Additionnez et .
Étape 24.5.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 24.5.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.5.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 24.5.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 24.5.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 24.5.2.2.4
Divisez par .
Étape 24.5.3
Multipliez par .
Étape 24.5.4
Additionnez et .
Étape 25
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 25.1
La valeur exacte de est .
Étape 25.2
La valeur exacte de est .
Étape 25.3
Multipliez par .
Étape 25.4
Additionnez et .
Étape 25.5
Multipliez par .
Étape 25.6
Additionnez et .
Étape 26
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.1.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.1.1.1
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 26.1.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 26.1.2
Divisez par .
Étape 26.2
Additionnez et .
Étape 26.3
Associez et .
Étape 26.4
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 26.5
La valeur exacte de est .
Étape 26.6
Multipliez par .
Étape 26.7
Additionnez et .
Étape 26.8
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.8.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 26.8.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.8.2.1
Multipliez par .
Étape 26.8.2.2
Multipliez par .
Étape 26.9
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 26.10
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.10.1
Multipliez par .
Étape 26.10.2
Multipliez par .
Étape 26.11
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 26.12
Déplacez à gauche de .
Étape 26.13
Additionnez et .
Étape 26.14
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 26.14.1
Multipliez par .
Étape 26.14.2
Multipliez par .
Étape 27
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :