Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Évaluez $x \sin (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 3.1.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ et $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 3.1.3.4

Pour écrire $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.3.5

Associez $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Étape 3.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Étape 3.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

Étape 3.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Étape 3.2.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

Étape 3.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{π - 2}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π - 2}{2}$

Forme décimale :

$0.57079632 \dots$