Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{π^{2}}{4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Étape 7

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Étape 7.1

Évaluez $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Étape 7.3

Additionnez $0.78121189$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Étape 7.5

Divisez $1.78121189$ par $2$ .

$0.89060594$