Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{u}{2}$ et $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Étape 6.2

Multipliez $\int \cos (u) d u$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Étape 8

Réécrivez $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ comme $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

Étape 10

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ .

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Étape 10.2.2

Associez $\cos (x^{2})$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Étape 10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Étape 10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$