Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{4} e^{- 2 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{4}$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$x^{4} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{4} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{4}$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (4 x^{3}) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2} \cdot 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2} \cdot 4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{1} \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.3.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x)$

Étape 4.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 \int e^{- 2 x} (x^{3}) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (x^{3} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (x^{3} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - 3 \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} d x)$

Étape 6.5

Associez $- 3$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} x^{2} d x)$

Étape 6.6

Associez $\frac{- 3 e^{- 2 x}}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Étape 8.2

Multipliez $\int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x$ par $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{3 e^{- 2 x} x^{2}}{2} d x)$

Étape 9

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} \int e^{- 2 x} x^{2} d x)$

Étape 10

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Étape 11

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Étape 11.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Étape 11.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x))$

Étape 11.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 x) d x))$

Étape 11.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - 2 \frac{e^{- 2 x}}{2} x d x))$

Étape 11.5

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 2 e^{- 2 x}}{2} x d x))$

Étape 11.6

Associez $\frac{- 2 e^{- 2 x}}{2}$ et $x$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- 2 e^{- 2 x} x}{2} d x))$

Étape 11.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- 2 x} x$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2} d x))$

Étape 11.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2 (1)} d x))$

Étape 11.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{2 (- e^{- 2 x} x)}{2 \cdot 1} d x))$

Étape 11.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int \frac{- e^{- 2 x} x}{1} d x))$

Étape 11.7.2.4

Divisez $- e^{- 2 x} x$ par $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - e^{- 2 x} x d x))$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} x d x))$

Étape 13

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} x d x))$

Étape 13.2

Multipliez $\int e^{- 2 x} x d x$ par $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} x d x))$

Étape 14

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Étape 15

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Étape 15.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Étape 15.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x))$

Étape 15.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Étape 16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Étape 17

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Étape 17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Étape 17.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ par $1$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x))$

Étape 18

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x))$

Étape 19

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 19.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 19.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 19.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 19.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 19.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 19.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u))$

Étape 20

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Étape 20.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u))$

Étape 20.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u))$

Étape 21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Étape 22

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Étape 23

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Étape 23.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Étape 23.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Étape 24

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Étape 25

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Étape 25.1

Réécrivez $- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ comme $- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Étape 25.2

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Étape 25.2.1

Pour écrire $2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 25.2.2

Associez $2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{4} e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 25.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 2 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 25.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8})}{2} + C$

Étape 26

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$\frac{- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{x^{3} e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 x e^{- 2 x}}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{8})}{2} + C$

Étape 27

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (- x^{4} e^{- 2 x} + 4 (- \frac{1}{2} x^{3} e^{- 2 x} - \frac{3}{4} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{3}{4} x e^{- 2 x} - \frac{3}{8} e^{- 2 x})) + C$