Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{4} e^{- x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{4}$ et $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 x^{3}) d x$

Étape 2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - 4 e^{- x} x^{3} d x$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} x^{3} d x)$

Étape 4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} x^{3} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - 3 e^{- x} x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - (- 3 \int e^{- x} x^{2} d x))$

Étape 8

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 \int e^{- x} x^{2} d x)$

Étape 9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x))$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x))$

Étape 11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)))$

Étape 12

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x))$

Étape 13

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)))$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)))$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)))$

Étape 15.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)))$

Étape 16

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 16.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 16.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 16.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 16.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 16.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)))$

Étape 17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)))$

Étape 18

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$

Étape 19

Réécrivez $x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$ comme $- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$

Étape 20

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}))) + C$