Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt[3]{5 - 3 x^{2}} (- 6 x) d x$

Étape 1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 \int \sqrt[3]{5 - 3 x^{2}} (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 5 - 3 x^{2}$ . Alors $d u = - 6 x d x$ , donc $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 5 - 3 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$0 - 6 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 6 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 6} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 6 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Étape 3.2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$- 6 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{6} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $6$ .

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.3

Multipliez $\int \sqrt[3]{u} d u$ par $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$