Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - 2 x^{2}$ . Alors $d u = - 4 x d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 4 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{- 3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ comme $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Étape 7.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 7.2.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 7.2.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{4 (2 u^{2})} + C$

Étape 7.2.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8 u^{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 2 x^{2})}^{2}} + C$