Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \cos (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Étape 4.3

Multipliez $\int \sin (2 x) (x) d x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Étape 6.3

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 8.2

Multipliez $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 10

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 13

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Étape 15

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Étape 15.1

Réécrivez $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ comme $\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2

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Étape 15.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.4

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Étape 15.2.6

Pour écrire $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 15.2.7

Associez $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 15.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 15.2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 17

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 1 (\cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.4

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 17.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 17.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 17.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 17.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1.1

Pour écrire $x^{2} \sin (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + x^{2} \sin (2 x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.2

Associez $x^{2} \sin (2 x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.4

Pour écrire $x \cos (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.5

Associez $x \cos (2 x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.7

Réécrivez $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 18.1.7.1

Déplacez $2$ à gauche de $x \cos (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.1.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Étape 18.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2} + C$

Étape 18.3

Multipliez $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 18.3.1

Multipliez $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 18.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{4} + C$

Étape 18.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) + C$