Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \cos (4 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \cos (4 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (4 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int \sin (4 x) (x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\cos (4 x)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

Étape 6.3

Associez $\cos (4 x)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - - \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Étape 8.2

Multipliez $\int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Étape 10

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 10.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Étape 13

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u)$

Étape 13.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u)$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$

Étape 15

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Étape 15.1

Réécrivez $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$ comme $\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Étape 15.2

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Étape 15.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{4}$ et $\sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.3

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.4

Associez $\cos (4 x)$ et $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.5

Associez $\frac{1}{16}$ et $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) + C$

Étape 15.2.6

Pour écrire $- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Étape 15.2.7

Associez $- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 15.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 15.2.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 4 (\frac{1}{2}) (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 15.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 4}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 15.2.11

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 15.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 15.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 15.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 15.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 15.2.11.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16})}{4} + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4}) - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (4 x) x}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.2.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 (- 1) \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

Étape 17.3.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Étape 17.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

Étape 17.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 17.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - - \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 17.4.2

Multipliez $- - \frac{\cos (4 x) x}{2}$ .

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Étape 17.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 1 \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 17.4.2.2

Multipliez $\frac{\cos (4 x) x}{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 17.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{x \cos (4 x)}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1.1

Pour écrire $x^{2} \sin (4 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + x^{2} \sin (4 x) \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.2

Associez $x^{2} \sin (4 x)$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.4

Pour écrire $\frac{x \cos (4 x)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.1.5.1

Multipliez $\frac{x \cos (4 x)}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.7

Réécrivez $\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}$ en forme factorisée.

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Étape 18.1.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \cos (4 x)) + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.1.7.2

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2} \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

Étape 18.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

Étape 18.3

Multipliez $\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 18.3.1

Multipliez $\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Étape 18.3.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{32} + C$

Étape 18.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{32} (4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)) + C$