Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ , donc $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ .

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ .

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{12} d u_{2}$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{12} u_{2} + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{1}{12} e^{4 x^{3}} + C$