Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 5

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 5.2

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{15} {(x^{3} + 1)}^{5} + C$