Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{2 x^{2} - 3} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x^{2} - 3$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 x^{2} - 3 |) + C$