Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{3 x} + 5 e^{- x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{3 x} d x + \int 5 e^{- x} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Étape 3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- x} d x$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- x} d x$

Étape 7

Laissez $u_{2} = - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 (e^{u_{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} - 5 e^{u_{2}} + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{u_{2}} + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{- x} + C$