Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Étape 2

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Alors $d u = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 2.3

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Étape 2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Étape 5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 7

Évaluez $\ln (| \sin (u) |)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Étape 8

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Étape 8.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Étape 9

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Étape 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ est d’environ $0.8660254$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Étape 9.2

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Étape 9.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Étape 9.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 \ln (\sqrt{3})$

Forme décimale :

$3.29583686 \dots$