Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Étape 2.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{u^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

Étape 8.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

Étape 8.2.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

Étape 8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

Étape 8.5

Soustrayez $1$ de $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Étape 8.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{15}{16}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{15}{16}$

Forme décimale :

$- 0.9375$