Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $u - 1$ de l’exposant.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.1.3

Multipliez $u - 1$ par $1$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \ln (x)$ .

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$