Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (4 x)$ et $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Étape 3

Comme $- 1 \cdot 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1 \cdot 4$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (4 x)$ et $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Étape 6

Comme $- - 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- - 4$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Étape 7

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Étape 7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 7.4

Multipliez.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Étape 8

En résolvant $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ comme $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Étape 9.2.1.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Étape 9.2.1.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Étape 9.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Étape 9.2.1.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Étape 9.2.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Étape 9.2.1.3

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$