Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $\sin (2 x)$ .

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (2 x)$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 4.2

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 4.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (2 x)$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

Étape 6

Comme $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Étape 7.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Étape 7.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Étape 7.4

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Étape 7.6

Multipliez.

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Étape 7.6.2

Multipliez $\frac{- 2}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{- 2}{2}$ par $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Étape 7.8

Multipliez.

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Étape 7.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Étape 7.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Étape 7.8.3

Multipliez $\frac{- 2}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Étape 7.9

Multipliez $\frac{2}{2}$ par $\frac{- 2}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Étape 7.10

Multipliez.

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Étape 7.10.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Étape 7.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Étape 8

En résolvant $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Étape 9.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

Étape 9.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Étape 9.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Étape 9.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Étape 9.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Étape 9.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Étape 9.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Étape 9.1.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ comme $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Étape 9.3.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Étape 9.3.3

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

Étape 9.3.4

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Étape 9.4.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ .

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Étape 9.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Étape 9.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ .

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Étape 9.4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 9.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

Étape 9.5

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$