Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos^{7} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{6} (x)$ .

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (3)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Étape 5

Développez ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 5.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 5.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 5.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 5.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 5.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Étape 5.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.8

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.9

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.10

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.11

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.12

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Étape 5.13

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.14

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.15

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.16

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.17

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.18

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.19

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.20

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.21

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.22

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.24

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.26

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.27

Factorisez le signe négatif.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Étape 5.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Étape 5.29

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Étape 5.30

Factorisez le signe négatif.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Étape 5.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Étape 5.32

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Étape 5.33

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 3 u^{2}$ .

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Étape 5.34

Déplacez $1$ .

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Étape 5.35

Remettez dans l’ordre $- 3 u^{2}$ et $3 u^{4}$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Étape 5.36

Déplacez $1$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Étape 5.37

Déplacez $- 3 u^{2}$ .

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Étape 5.38

Remettez dans l’ordre $3 u^{4}$ et $- u^{6}$ .

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Étape 11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

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Étape 14.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Étape 14.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Étape 14.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Étape 14.2

Simplifiez

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$