Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cot^{2} (7 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 7 x$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cot^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Étape 2

Associez $\cot^{2} (u)$ et $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\cot^{2} (u)}{7} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int \cot^{2} (u) d u$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (u)$ comme $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{7} \int - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{7} (\int - 1 d u + \int \csc^{2} (u) d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{7} (- u + C + \int \csc^{2} (u) d u)$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{7} (- u + C - \cot (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{7} (- u - \cot (u)) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$\frac{1}{7} (- (7 x) - \cot (7 x)) + C$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{1}{7} (- 7 x - \cot (7 x)) + C$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{7} (- 7 x) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$- x + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{7}$ et $\cot (7 x)$ .

$- x - \frac{\cot (7 x)}{7} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x - \frac{1}{7} \cot (7 x) + C$