Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cot^{4} (x) d x$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

Étape 1.2

Réécrivez ${\cot (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (x)$ comme $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

Étape 3

Simplifiez

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

Étape 8

Appliquez la formule de réduction.

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 9

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $\cot (x)$ .

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Étape 10.2.2

Pour écrire $2 \cot (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Étape 10.2.3

Associez $2 \cot (x)$ et $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Étape 10.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

Étape 10.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

Étape 10.2.6

Soustrayez $2 \cot (x)$ de $6 \cot (x)$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$