Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

Étape 1

Laissez $u = 1 - 6 t$ . Alors $d u = - 6 d t$ , donc $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 - 6 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 6 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 6 t$ par rapport à $t$ est $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6$

Étape 1.1.4

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{u^{4}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

Étape 2.3

Déplacez $6$ à gauche de $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Associez $d$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

Étape 5.1.2

Associez $t$ et $\frac{d}{6}$ .

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Associez $u^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Étape 7.1.2

Placez $u^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Étape 7.2

Réécrivez $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ comme $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Associez $t$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Étape 7.3.2

Associez $d$ et $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 7.3.4

Multipliez $\frac{d t}{6}$ par $1$ .

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 7.3.5

Multipliez $\frac{d t}{6}$ par $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

Étape 7.3.6

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 6 t$ .

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$