Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \cos^{2} (t)$ comme ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3 \cos (t)$ à partir de ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Étape 2.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ à $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Étape 4.2

Associez $d$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Étape 4.3

Associez $x$ et $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ comme $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{x}{9}$ et $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{x d}{9}$ et $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Ainsi, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ est $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.9

Multipliez $\frac{3 + x}{3}$ par $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.11

Réécrivez $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Étape 8.11.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.11.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.11.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.13

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.14

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.14.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Étape 8.14.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Étape 8.15

Associez $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Étape 8.16

Associez les exposants.

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Étape 8.16.1

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Étape 8.16.2

Associez $d$ et $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Étape 8.17

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Étape 8.18

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.18.1

Réduisez l’expression $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.18.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Étape 8.18.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Étape 8.18.2

Divisez $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ par $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$