Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{3} (4 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\tan^{3} (u_{1})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (u_{1})$ comme $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

L’intégrale de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Étape 10

Laissez $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Étape 10.1.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Étape 13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (4 x)) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{\sec^{2} (4 x)}{2}) + C$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Étape 14.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| \sec (4 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Étape 14.4

Associez.

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1 \sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 14.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.5.1

Multipliez $\sec^{2} (4 x)$ par $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Étape 14.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{8} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{8} \sec^{2} (4 x) + C$