Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{4} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Étape 4

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Étape 5

Développez $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(1 - u^{2})}^{2}$ comme $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.8

Déplacez $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.9

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.10

Déplacez $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.11

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.12

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.13

Déplacez $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 5.14

Déplacez $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Étape 5.15

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Étape 5.16

Déplacez les parenthèses.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.17

Déplacez $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.18

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.19

Multipliez $u^{7}$ par $1$ .

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.20

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.21

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.23

Additionnez $7$ et $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.24

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.25

Factorisez le signe négatif.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.27

Additionnez $7$ et $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.28

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.29

Multipliez $u^{7}$ par $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.30

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Étape 5.31

Additionnez $7$ et $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Étape 5.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Étape 5.33

Additionnez $9$ et $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Étape 5.34

Soustrayez $u^{9}$ de $- u^{9}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Étape 5.35

Remettez dans l’ordre $- 2 u^{9}$ et $u^{11}$ .

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Étape 5.36

Déplacez $u^{7}$ .

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{11}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$