Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de racine carrée de x^2-4 par rapport à x
Étape 1
Laissez , où . Puis . Depuis , est positif.
Étape 2
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 2.1.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.5
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 2.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.7
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Multipliez par .
Étape 2.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5
Additionnez et .
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
Élevez à la puissance .
Étape 5
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 6
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 7
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 8
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 9
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 10
Factorisez à partir de .
Étape 11
Intégrez par parties en utilisant la formule , où et .
Étape 12
Élevez à la puissance .
Étape 13
Élevez à la puissance .
Étape 14
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 15
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Additionnez et .
Étape 15.2
Remettez dans l’ordre et .
Étape 16
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 17
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 17.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 17.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 18
Élevez à la puissance .
Étape 19
Élevez à la puissance .
Étape 20
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 21
Additionnez et .
Étape 22
Élevez à la puissance .
Étape 23
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 24
Additionnez et .
Étape 25
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 26
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 27
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 28
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 28.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 28.2
Multipliez par .
Étape 29
En résolvant , nous trouvons que = .
Étape 30
Multipliez par .
Étape 31
Simplifiez
Étape 32
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.1
Multipliez par .
Étape 32.2
Additionnez et .
Étape 32.3
Associez et .
Étape 32.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 32.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 32.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 32.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 32.4.2.4
Divisez par .
Étape 33
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 34
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1.1
Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.
Étape 34.1.2
Tracez un triangle dans le plan avec des sommets , , et l’origine. Alors est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par . Ainsi, est .
Étape 34.1.3
Réécrivez comme .
Étape 34.1.4
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 34.1.5
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 34.1.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.1.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 34.1.8
Associez et .
Étape 34.1.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.1.10
Multipliez par .
Étape 34.1.11
Multipliez par .
Étape 34.1.12
Multipliez par .
Étape 34.1.13
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1.13.1
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 34.1.13.2
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 34.1.13.3
Réorganisez la fraction .
Étape 34.1.14
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 34.1.15
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 34.1.16
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1.16.1
Multipliez par .
Étape 34.1.16.2
Multipliez par .
Étape 34.1.17
Associez et .
Étape 34.1.18
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1.18.1
Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.
Étape 34.1.18.2
Tracez un triangle dans le plan avec des sommets , , et l’origine. Alors est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par . Ainsi, est .
Étape 34.1.18.3
Réécrivez comme .
Étape 34.1.18.4
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 34.1.18.5
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 34.1.18.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.1.18.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 34.1.18.8
Associez et .
Étape 34.1.18.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.1.18.10
Multipliez par .
Étape 34.1.18.11
Multipliez par .
Étape 34.1.18.12
Multipliez par .
Étape 34.1.18.13
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.1.18.13.1
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 34.1.18.13.2
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 34.1.18.13.3
Réorganisez la fraction .
Étape 34.1.18.14
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 34.1.18.15
Associez et .
Étape 34.1.19
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.1.20
Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.
Étape 34.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 34.3
Associez et .
Étape 34.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 34.5
Multipliez par .
Étape 34.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 34.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 34.6.2
Annulez le facteur commun.
Étape 34.6.3
Réécrivez l’expression.
Étape 35
Remettez les termes dans l’ordre.