Calcul infinitésimal Exemples

$\int t e^{- t} d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- t}$ .

$t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t$

Étape 3.2

Multipliez $\int e^{- t} d t$ par $1$ .

$t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t$

Étape 4

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$

Étape 7

Réécrivez $t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$ comme $- t e^{- t} - e^{u} + C$ .

$- t e^{- t} - e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$- t e^{- t} - e^{- t} + C$