Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x)$ , $a = \frac{π}{3}$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = \frac{π}{3}$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3})$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{π}{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3})$

Étape 3.2

Simplifiez $\sin (\frac{π}{3})$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sin (\frac{π}{3})$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $\frac{π}{3}$ .

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Étape 4.1

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$\cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{3}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{6}$

Étape 7