Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de sin(x)^2cos(x)^4 par rapport à x
Étape 1
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 2
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 3
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 4
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez .
Étape 4.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.4
Multipliez par .
Étape 4.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 5
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2
Simplifiez en utilisant la commutativité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.2.2
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.3
Développez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.9
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.11
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.12
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.15
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.16
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.17
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.18
Déplacez .
Étape 5.3.19
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.20
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.21
Déplacez .
Étape 5.3.22
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.23
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.24
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.25
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.26
Déplacez .
Étape 5.3.27
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.28
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.29
Déplacez .
Étape 5.3.30
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.31
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.32
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.33
Déplacez .
Étape 5.3.34
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.35
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.36
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.37
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.38
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.39
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.40
Déplacez .
Étape 5.3.41
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.42
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.43
Déplacez .
Étape 5.3.44
Déplacez .
Étape 5.3.45
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.46
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.47
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.48
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.49
Déplacez .
Étape 5.3.50
Déplacez .
Étape 5.3.51
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.52
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.53
Déplacez .
Étape 5.3.54
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.55
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.56
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.57
Déplacez .
Étape 5.3.58
Déplacez .
Étape 5.3.59
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.60
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.61
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.3.62
Multipliez par .
Étape 5.3.63
Multipliez par .
Étape 5.3.64
Multipliez par .
Étape 5.3.65
Multipliez par .
Étape 5.3.66
Multipliez par .
Étape 5.3.67
Multipliez par .
Étape 5.3.68
Multipliez par .
Étape 5.3.69
Multipliez par .
Étape 5.3.70
Multipliez par .
Étape 5.3.71
Multipliez par .
Étape 5.3.72
Multipliez par .
Étape 5.3.73
Multipliez par .
Étape 5.3.74
Multipliez par .
Étape 5.3.75
Associez et .
Étape 5.3.76
Multipliez par .
Étape 5.3.77
Multipliez par .
Étape 5.3.78
Multipliez par .
Étape 5.3.79
Multipliez par .
Étape 5.3.80
Associez et .
Étape 5.3.81
Multipliez par .
Étape 5.3.82
Multipliez par .
Étape 5.3.83
Multipliez par .
Étape 5.3.84
Multipliez par .
Étape 5.3.85
Multipliez par .
Étape 5.3.86
Associez et .
Étape 5.3.87
Multipliez par .
Étape 5.3.88
Multipliez par .
Étape 5.3.89
Associez et .
Étape 5.3.90
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.91
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.92
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.93
Additionnez et .
Étape 5.3.94
Additionnez et .
Étape 5.3.95
Associez et .
Étape 5.3.96
Multipliez par .
Étape 5.3.97
Multipliez par .
Étape 5.3.98
Associez et .
Étape 5.3.99
Associez et .
Étape 5.3.100
Multipliez par .
Étape 5.3.101
Associez et .
Étape 5.3.102
Multipliez par .
Étape 5.3.103
Multipliez par .
Étape 5.3.104
Associez et .
Étape 5.3.105
Associez et .
Étape 5.3.106
Multipliez par .
Étape 5.3.107
Associez et .
Étape 5.3.108
Multipliez par .
Étape 5.3.109
Associez et .
Étape 5.3.110
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.111
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.112
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.113
Additionnez et .
Étape 5.3.114
Multipliez par .
Étape 5.3.115
Associez et .
Étape 5.3.116
Associez et .
Étape 5.3.117
Multipliez par .
Étape 5.3.118
Associez et .
Étape 5.3.119
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.120
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.121
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.122
Additionnez et .
Étape 5.3.123
Associez et .
Étape 5.3.124
Multipliez par .
Étape 5.3.125
Associez et .
Étape 5.3.126
Associez et .
Étape 5.3.127
Associez et .
Étape 5.3.128
Associez et .
Étape 5.3.129
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.130
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.131
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.132
Additionnez et .
Étape 5.3.133
Multipliez par .
Étape 5.3.134
Multipliez par .
Étape 5.3.135
Associez et .
Étape 5.3.136
Associez et .
Étape 5.3.137
Élevez à la puissance .
Étape 5.3.138
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.3.139
Additionnez et .
Étape 5.3.140
Soustrayez de .
Étape 5.3.141
Associez et .
Étape 5.3.142
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.143
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.144
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.145
Déplacez .
Étape 5.3.146
Déplacez .
Étape 5.3.147
Déplacez .
Étape 5.3.148
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3.149
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.3.150
Soustrayez de .
Étape 5.3.151
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.3.152
Soustrayez de .
Étape 5.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.4.3
Multipliez par .
Étape 5.4.4
Multipliez par .
Étape 5.4.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 9
Factorisez .
Étape 10
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 11
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1.1
Différenciez .
Étape 11.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 11.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 12
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 13
Appliquez la règle de la constante.
Étape 14
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 15
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 16
Associez et .
Étape 17
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 18
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 19
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 20
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 21
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 21.1
Multipliez par .
Étape 21.2
Multipliez par .
Étape 22
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 23
Appliquez la règle de la constante.
Étape 24
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1.1
Différenciez .
Étape 24.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 24.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 24.1.4
Multipliez par .
Étape 24.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 25
Associez et .
Étape 26
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 27
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 28
Appliquez la règle de la constante.
Étape 29
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 30
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 31
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.1
Simplifiez
Étape 31.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 31.2.2
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.2.2.1
Multipliez par .
Étape 31.2.2.2
Multipliez par .
Étape 31.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 31.2.4
Déplacez à gauche de .
Étape 31.2.5
Additionnez et .
Étape 32
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32.4
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 33
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 33.1
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 33.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 33.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 33.1.3
Annulez le facteur commun.
Étape 33.1.4
Réécrivez l’expression.
Étape 33.2
Multipliez par .
Étape 34
Remettez les termes dans l’ordre.