Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u^{3}}$ comme $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ comme $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8

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Étape 8.1

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2

Convertissez de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ à ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$