Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} 5 \sec^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$5 (\tan (x)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\tan (x)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $- \frac{π}{6}$ .

$5 (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Étape 3.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Étape 3.3.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.3.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.6

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.7

Multipliez $5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 3.3.7.1

Associez $5$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{5 (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$5.77350269 \dots$