Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 4

Associez $\csc (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 6.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 7

L’intégrale de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Étape 8

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \cot (2 x) d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 10

Associez $\cot (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 8$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Étape 13

L’intégrale de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 14.2

Évaluez $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 ((\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 14.3

Supprimez les parenthèses.

$4 (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$4 (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 15.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 15.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 15.4

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 15.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 15.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Étape 15.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Étape 15.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Étape 15.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Étape 15.10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Étape 15.11

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 16.2

$\sqrt{2} - 1$ est d’environ $0.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 16.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ est d’environ $0.70710678$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 16.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 16.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forme décimale :

$2.13919998 \dots$